142857

¿Qué puede tener de interesante el 142857, o como me gusta recordarlo: catorce veintiocho cincuentisiete? Se trata de uno de los números cíclicos más conocidos y fáciles de recordar.

El 142857 tiene una propiedad que no significa nada en realidad, y hasta donde tengo entendido tampoco sirve para nada, salvo tal vez para divertirnos con una calculadora: no importa por qué número lo multipliquemos (salvo el 7) que siempre aparecerá ahí, escondido de alguna forma:

1 × 142857 = 142857

2 × 142857 = 285714

3 × 142857 = 428571

4 × 142857 = 571428

5 × 142857 = 714285

6 × 142857 = 857142

7 × 142857 = 999999

Incluso podemos intentarlo con cifras mayores, donde el efecto sigue presente, pero un poco más disimulado:

15 × 142857 = 2142855  En este caso tenemos que sumar 55 + 2 para obtener el 57

20 × 142857 = 2857140 Sí, el cero no cuenta en este juego, salvo algunas veces (ya lo verán)

95 × 142857 = 13571415 ¿Cuanto es 15 + 13? 

También mantiene propiedades similares, como de "no funcionar" con 7, ni con ningún múltiplo de 7:

  7 × 142857 =  999999

14 × 142857 = 1999998  1 + 8 sigue siendo 9

35 × 142857 = 4999995  al igual que 4 + 5

Les advierto que si vieron la película Número 23, a partir de ahora sus vidas pueden convertirse en una versión light de eso. Y si no la vieron, también: cada vez que encuentren una calculadora, o cuando se aburran de los juegos del teléfono celular, van a multiplicar el 142857 por lo que sea, y buscar sus misteriosos dígitos escondidos de alguna forma. Pero la cosa no termina aquí:

Al dividir prácticamente cualquier número natural por 7, van a encontrar que la parte decimal del cociente, esconde inevitablemente el misterioso número. Y no sólo lo esconde, ya que se va a tratar de un número periódico con infinitos decimales, van a encontrar que el período que se repite infinitamente es.. el 142857:

1 ÷ 7 = 0,142857

2 ÷ 7 = 0,285714

3 ÷ 7 = 0,428571

4 ÷ 7 = 0,571428

5 ÷ 7 = 0,714285

6 ÷ 7 = 0,857142

Si creían que todo terminaría ahí, estaban equivocados, porque 7 ÷ 7 = 1, y 1 = 0,999999... así que seguimos encontrando la repetición de nueves.

Podemos notar, por ejemplo que 22 ÷ 7 = 3,142857, una cifra bastante cercana a Pi, que difiere solamente un 0,4%. Esto se conoce desde tiempos de Aristóteles, y se ha usado en diferentes ocasiones como simplificación del perímetro del círculo.

Nuestro mágico 142857 también es considerado como un número de Harschad. Estos números tienen la características de ser divisibles por la suma de sus dígitos. 1+4+2+8+5+7 = 27 y 142857/27 = 5291. Otros ejemplos son 10, 12, 18, 20, 24, 27, 30, 36.. y se van haciendo menos frecuentes a medida que aumenta el valor.

También es considerado un número de Keprakar, y estos son muchos más extraños. Los números de Keprakar pueden elevarse al cuadrado, en este caso 142857^2 = 20.408.122.449, y luego, al separar el número obtenido en dos partes, y sumarlas, obtenemos el original nuevamente: 20.408 + 122.449 = 142857.

(FUENTE: http://www.proyectosandia.com.ar/)