Corría el siglo XII. En 1170, los normandos atacaban a los irlandeses en Baginbun y los destrozaban, mientras Gervasio de Canterbury y los astrónomos chinos documentaban un tránsito de Marte frente a Júpiter. El judío sefaradí Benjamín de Tudela viajaba por todo el mundo conocido para censar a los judíos existentes, y llegaba a la conclusión de que 8 millones de ellos estaban repartidos por el planeta. El Valle del Bekaá se veía devastado por un espantoso terremoto de más de grado 7 en la Escala de Mercalli. Ricardo Corazón de León, mientras tanto, reinaba en Inglaterra.
Entre tantos eventos importantes, un tal Bonaccio, residente en Pisa (donde, según Benjamín, vivían 20 judíos) celebraba el nacimiento de su hijo Leonardo. Como era vástago de Bonaccio, casi nunca nadie conoció al niño como Leonardo de Pisa, sino como "el hijo de Bonaccio", esto es, Fibonacci.
Bonaccio, por entonces director de una aduana italiana en Argelia, necesitaba que su hijo supiese de números, por lo que obligó al chiquillo a estudiar aritmética posicional hindú. Milagrosamente, Fibonacci descubrió en las matemáticas el amor de su vida. Nunca más las abandonó.
El aporte de Fibonacci a la matemática es tan grande y tan profundo que prácticamente no puede ser medido. Por la época en la que vivió, el sistema de numeración arábigo (el que usamos nosotros) era poco menos que una curiosidad: todo el mundo usaba los números romanos. Y ya se sabe lo difícil que es multiplicar (por no hablar de dividir) con números romanos, por la sencilla razón de que no tienen cero. Les encargo una ecuación cuadrática o una integral de segundo grado.
Pues bien, Fibonacci, recordando el curso de aritmética hindú aprendido de niño, escribió en 1202 su tratado Liber abaci ("El Libro del Ábaco") que es, ni más ni menos, un tratado sobre el sistema numeral indoarábigo. En él presenta al público y a los científicos europeos los signos hindúes (1, 2, 3...) y el 0 árabe, donde dice que se llama "cero" (quod arabice zephirum appellatur). Además, expone el método de regula falsi para ecuaciones de primer grado. Nada menos que eso, algo insólito para un libro del siglo XIII en una sociedad que no usaba el cero.
Su otro libro capital, De quadratis numeris (1225) es tan avanzado que hubo que esperar a Fermat (en el siglo XVII) para superarlo.
Sin embargo, yo no creo que ustedes supieran que fue Fibonacci quien trajo de la India y Arabia nuestro sistema numérico. Casi nadie lo sabe. Pero todos hemos escuchado su nombre, y nos suena la expresión "series de Fibonacci", ¿verdad?
Los seres humanos somos así: no agradecemos a los prohombres sus grandes obsequios y los inmortalizamos simultáneamente por una trivialidad.
Pero una trivialidad muy interesante... Mucho. Irresistible, en realidad.
Las series de Fibonacci fueron bautizadas en honor del italiano por el teórico francés Edouard Lucas, porque este tipo de sucesiones numéricas forman parte de un problema bastante sencillo del Liber abaci.
Una sucesión de Fibonacci es aquella donde cada número es el resultado de sumar los dos que lo preceden. Así, la primera y más básica serie de Fibonacci sería:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
respondiendo a la fórmula
Fn = Fn-1 + Fn-2
Lo interesante de las series de Fibonacci es que prácticamente cualquiera (con la sola condición de que domine la aritmética básica) puede investigarlas, descubrirles nuevas propiedades y desarrollar teoremas propios, inéditos y curiosísimos sobre ellas. Parecen existir infinitos teoremas de Fibonacci, y amateurs matemáticos casi absolutos han escrito y publicado interminable cantidad de sesudos libros acerca de ellos.
Además, las series de Fibonacci aparecen en infinidad de objetos de la naturaleza (como veremos) y tienen propiedades extrañísimas, que también comentaré.
Las aplicaciones de los números de Fibonacci son también, al parecer, infinitas: se utilizan en generación de números al azar, en la búsqueda de valores máximos y mínimos de funciones complejas de las que se ignora la derivada, en trabajos de clasificación de datos, en recuperación de información en computadoras, y mil etcéteras más.
Entre las muchas curiosidades de las Fibonacci, una de las más extrañas propiedades de las mismas es que la razón entre cada par de números consecutivos va oscilando por encima y por debajo de la razón áurea, y que a medida que avanzamos en la serie, la diferencia de la razón de Fibonacci con la razón áurea se va haciendo cada vez menor. En teoría, cuando llegásemos al último par de números, resultaría
¥ / ¥-1 = 1,61803...
que es, precisamente, la razón áurea. La razón áurea es un célebre número irracional (como pi, sus cifras decimales no parecen terminar jamás).
La afirmación anterior se demuestra fácilmente. En nuestro ejemplo,
3 / 2 = 1,5
bastante por debajo de la razón áurea. Pero
5 / 3 = 1,66
algo por encima, pero menos que antes. Si seguimos veremos que
8 / 5 = 1,6 ; 13 / 8 = 1,625 ; 21 / 13 = 1,6153 y 34 / 21 = 1,61904
lo cual ya se acerca bastante.
Las extrañas apariciones de las series de Fibonacci y de la razón áurea han dado lugar a interminables especulaciones y análisis y, por supuesto, a una abundante bibliografía. Sabemos que los caparazones espirales de muchos caracoles se rigen por ella, como ciertas proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. También se han hallado manifestaciones de estas entidades en las artes plásticas, la arquitectura y la poesía. Varios bardos romanos, especialmente Virgilio en la Eneida, parecen haber utilizado las series de Fibonacci en la estructura de sus obras poéticas.
En las ciencias naturales, es bien conocida la estructura de Fibonacci en la disposición de las semillas en los girasoles. Las semillas, ubicadas en la gran parte central de las flores, tienen una implantación en espiral: hay dos grupos de espirales, gobernadas por dos funciones logarítmicas. Un grupo gira en sentido horario y otro en el antihorario. La cantidad de espirales logarítmicas en cada grupo sigue números de Fibonacci consecutivos.
Las abejas también tienen relación con las series de Fibonacci: si se observan las celdas hexagonales de una colmena y se coloca a una abeja en una cualquiera de ellas, y se le permite alimentar a la larva, suponiendo que continuará siempre por la celda contigua de la derecha, veremos que hay sólo una ruta posible para la siguiente celdilla; dos hacia la segunda, tres hasta la tercera, cinco hasta la cuarta, ocho rutas posibles hacia la quinta, etcétera.
Y, ya que estamos a ello, diremos que los machos o zánganos de la colmena tienen árboles genealógicos que siguen estrictamente una distribución de Fibonacci. En efecto, los machos no tienen padre, por lo que él (1), tiene una madre (1, 1), dos abuelos —los padres de la reina— (1, 1, 2), tres bisabuelos —porque el padre de la reina no tuvo padre— (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5) y ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8).
También la física parece adorar las sucesiones de Fibonacci. Si se colocan dos láminas planas de vidrio en contacto y se hace que unos rayos luminosos las atraviesen, algunos (dependiendo del ángulo de incidencia) las atravesarán sin reflejarse, pero otros sufrirán una reflexión. El rayo que no sufre reflexión tiene sólo una trayectoria posible de salida; el que sufre una reflexión tiene dos rutas posibles; el que sufre dos reflexiones, tres trayectorias, el que experimenta tres reflexiones, cinco, y así sucesivamente. Tenemos aquí nuevamente una serie de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8...
Si aumentamos el número de reflexiones (n), el número de trayectorias posibles sigue infinitamente una serie de Fibonacci.
Si se toma un grupo de fichas de dominó, de tamaño 2 x 1, la cantidad de maneras de construir rectángulos de tamaño 2 x n será, por supuesto, una serie de Fibonacci. Hay una sola forma de armar un rectángulo de 2 x 1; dos de construir el de 2 x 2; tres de hacer el de 2 x 3, cinco para el de 2 x 4; ocho para el de 2 x 5, etc.
Desde siempre, los matemáticos se vieron perturbados por la relación entre las series de Fibonacci y las de números primos. La pregunta era: ¿puede una sucesión de Fibonacci contener series infinitas de números primos? La respuesta es sí. Si construimos una serie de Fibonacci general, en la cual los dos primeros números son divisibles por un número primo, todos los subsiguientes serán divisibles por el mismo primo a su vez, y toda la serie, por grande que sea, no podrá contener más que un número primo. Esto se conoce desde la Antigüedad.
El postulado negativo era más difícil de probar: ¿Puede existir una serie de Fibonacci que no contenga ningún número primo? Hubo que esperar a que modernamente se inventaran las computadoras para responder a este interrogante. La respuesta es sí. Pueden existir series de Fibonacci sin números primos en absoluto, de hecho existen, y parece haber también una variedad infinita de ellas. Pero no están cerca de nuestra simple serie de números bajos 1, 1, 2, 3, 5... La más pequeña de las series de Fibonacci sin números primos comienza en
1.059.683.225.053.915.111.058.165.141.686.995
y concluye en
1.786.772.701.928.802.632.268.715.130.455.793.
Las peculiaridades de las series de Fibonacci son, en apariencia, infinitas. Son tan atractivas que es fácil caer encandilados bajo su hechizo.
Sin embargo, recordemos el nombre de Leonardo de Pisa, Fibonacci, no tan sólo por estos bellos e intrigantes objetos matemáticos, sino como el clarividente pensador que nos obsequió el cero y el uso del mejor sistema de numeración que se conoce, los caracteres hindoárabes.
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